Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \\ - 1 & - 11 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 11 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{11} = - 3 \cdot 6 - (- 11 \cdot 2)$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$a_{11} = - 18 - (- 11 \cdot 2)$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 11 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $2$ .

$a_{11} = - 18 - - 22$

Schritt 2.1.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 22$ .

$a_{11} = - 18 + 22$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $- 18$ und $22$ .

$a_{11} = 4$

Schritt 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{12} = 3 \cdot 6 - (- 1 \cdot 2)$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$a_{12} = 18 - (- 1 \cdot 2)$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$a_{12} = 18 - - 2$

Schritt 2.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$a_{12} = 18 + 2$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $18$ und $2$ .

$a_{12} = 20$

Schritt 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{13} = 3 \cdot - 11 - - - 3$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 11$ .

$a_{13} = - 33 - - - 3$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Multipliziere $- - - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$a_{13} = - 33 - 1 \cdot 3$

Schritt 2.3.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a_{13} = - 33 - 3$

Schritt 2.3.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 33$ .

$a_{13} = - 36$

Schritt 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 11 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{21} = 2 \cdot 6 - (- 11 \cdot - 1)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$a_{21} = 12 - (- 11 \cdot - 1)$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 11 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$a_{21} = 12 - 1 \cdot 11$

Schritt 2.4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$a_{21} = 12 - 11$

Schritt 2.4.2.2.2

Subtrahiere $11$ von $12$ .

$a_{21} = 1$

Schritt 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{22} = 1 \cdot 6 - - - 1$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$a_{22} = 6 - - - 1$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Multipliziere $- - - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a_{22} = 6 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a_{22} = 6 - 1$

Schritt 2.5.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$a_{22} = 5$

Schritt 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{23} = 1 \cdot - 11 - (- 1 \cdot 2)$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$a_{23} = - 11 - (- 1 \cdot 2)$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$a_{23} = - 11 - - 2$

Schritt 2.6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$a_{23} = - 11 + 2$

Schritt 2.6.2.2.2

Addiere $- 11$ und $2$ .

$a_{23} = - 9$

Schritt 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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Schritt 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{31} = 2 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a_{31} = 4 - (- 3 \cdot - 1)$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$a_{31} = 4 - 1 \cdot 3$

Schritt 2.7.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a_{31} = 4 - 3$

Schritt 2.7.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$a_{31} = 1$

Schritt 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{32} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot - 1$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a_{32} = 2 - 3 \cdot - 1$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$a_{32} = 2 + 3$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere $2$ und $3$ .

$a_{32} = 5$

Schritt 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{33} = 1 \cdot - 3 - 3 \cdot 2$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$a_{33} = - 3 - 3 \cdot 2$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$a_{33} = - 3 - 6$

Schritt 2.9.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $- 3$ .

$a_{33} = - 9$

Schritt 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 4 & - 20 & - 36 \\ - 1 & 5 & 9 \\ 1 & - 5 & - 9 \end{array}]$